回到目錄請按我從結果的方向解決問題，能夠解決大部分棘手的問題 /信仁君

大部分正面思考的問題解決，不只是正規化按部就班而已，通常都是很複雜的手續，這就
需要考慮到需不需要從正規化的方向來著手，如果問題的本身不需要有太多的考量，就要
節省這些旁枝末節的處理，從另外一個捷徑來快速解決。但是並不代表從正規化的問題解
決是沒有效率的，如果處理精密的問題上，寧可慢工出細活，花下更多的人力，時間，成
本，目的是要求正確，而不是求快！

也就是說：看起來結果一樣的東西，如果這個問題必須是精確的，那麼要從源頭正面方向
來解決，假如要求的精密度不高，不需要考慮其他問題，即使考慮了，最後計算的結果是
趨近於零，就可以省略忽略不計，從別的路去走，一樣可以達到目的，而且效果不差，這
便是從「結果的方向解決問題」。

所以要訓練自己不是只能從一個方向解決問題而已，當別人提出第二個方向更簡便輕鬆，
並不代表那是唯一的標準答案，而是想到在我思考第一種比較正規而複雜的方法時，是否
也曾考慮到第二種方向的解決思考，而最後決定用正向的思考來回答，如果是這樣的話，
就表示您已經具備思考多元化的準備，否則就是一種警訊。有時候我也常常陷入這種困惑
情境，唯一的解決方法不是如何提高自己的智力，吃豬腦補人腦，吃卵麟脂活化腦細胞，
那都是沒有用的。

建立學習經驗法則，經驗從何而來？用自己的力量和有限能力的創造是不夠的，所謂他山
之石可以攻錯，當你發現別人用自己意想不到的方式解決問題，要馬上做筆記，研究這類
問題的解決模式，然後觸類旁通應用在其他類似的問題解決上，於是累積汲取別人的經驗
，逐漸成為自己的智慧，智慧是經驗的累積逐漸成長的。

雖然我不能判斷單一思考回答問題的各位，是否具備了思考多元化的準備。我在前兩個禮
拜在書店裡買了一本書「給拒絕思考的人」，讓我好奇的去翻它，因為不喜歡思考的人，
基本上也不喜歡看書，更不可能花腦筋研究，就像古代有識之士的人，在佈告欄上張貼「
不識字的人真苦啊！」，用意在於提醒民眾要多讀書，可是諷刺的是這是給識字的人看的
，看了心有所戚戚焉，對於不識字的人哪看得懂那些斗大字的警語呢？所以能夠達到什麼
振聾發瞶的效果呢？因此當時我有點想笑，想看看裡面到底寫什麼？是一陣義正辭嚴的訓
誨嗎？還是對不愛動腦筋的人一片撻伐，讓你讀來心生慚愧，面有難色，決定痛改前非嗎
？這樣的書籍能夠得到多少回響，於是我打來開睜大眼睛來看，看了一會兒我就決定買下
來了，因為這本書不只讓不愛思考的人知道如何思考不會覺得是一件困難的事，也讓喜歡
思考解決問題的人，提供更寬廣多元的思考空間，讓思考這件事情變得更犀利更有效率的
解決問題。                                                                    

我引述書中的P58頁一段話：

我在研究自己定型的想法和先入為主的觀念；我在學習如何打破頭腦裡面的牆壁。

這本書很薄只有124頁，作者：馬利林.巴恩斯，李毓昭譯。作者是一位享譽國際的數學教
育家，在1991年到1996年先後榮獲邊克斯翠教育學院授與榮譽博士，榮獲美國數學專家協
會所頒授的葛蘭.吉爾柏國家領袖獎，1997年又獲頒由女性數學家協會頒給對數學教育有
傑出貢獻者的路意斯.海獎，她原本是學校數學老師，也為學童寫了許多書，其中最著名
的就是這本。廣受美國，日本，歐洲教育界的推崇。書本封面寫道：啟發西方科技創意思
考的經典之作，美國學生必讀的思考訓練方法，榮獲亞馬遜網路書店最高評價五顆星。所
以有興趣的人可以買來看一下。

請問是誰釣到了這隻魚？如果按照標準化正規的程序解決，從源頭的發生是誰釣到，就先
確定有多少人參與釣魚這件事，然後一個個檢查這些人的釣線是否對應到這條魚，直到對
應為止，工作就結束，那個人就是釣到這條魚的人，於是根據這樣的解決法則寫一條程式
，循序漸進地毯式的搜索，因為電腦的速度很快，這樣的程式設計師是屬於不愛動腦筋的
想法，在數大法則下同樣解決這類問題上，可能會發生有的程式在同樣的電腦作業環境下
，某個電腦程式run的時間特別久，有的一下子就出來了，不是程式撰寫技術程度的問題
，而是思考邏輯的方向有很大的不同，找出來的結果是相同的，但是過程卻大不相同。

所以在這本書的88頁，裡頭我一字不漏的打出來內容：

從後面反過來想，有時候我們知道結果是什麼，卻不知道要如何達到。

要得到一個答案，也許有許多方法可以用。當然，我們只要找到一個方法，就會覺得心情
好極了。而如果能找到最好的方法，那是再好不過的。

有時候從後面反過來想，會比較容易思考，還能節省時間，問題也會簡單許多。

舉例來說，以下是誰釣到了這隻魚？

循著釣竿去找，就可以知道答案，可是這樣子必須做三次才行。反之，如果從魚那邊沿著
釣線去找，很快就可以找到答案。



這就是從結果的方向來解決問題的典型處理方法，現在我再提供一題請大家練習：

在一場棋賽中，有六十四個棋士參加。預賽時，棋士輸一次就會被淘汰，那麼在產生冠軍
之前，總共要比賽幾次？

我相信大部分的人都會用正規的數學方式來計算，書中提示你：別用算數去算，從結果去
推想看看，冠軍只有一個，有幾個人輸了？這些人每個人都輸了一次？嗯。

本來我看到這個題目時，心想又是數學排列組合問題，我最討厭了，64 / 2 = 32 要分 
32 組，然後繼續比賽下去，32 / 2 = 16 再分 16 組比賽，...再推演下去我不想去思考
了，看到書中的提示從結果來想答案，我馬上知道答案了，現在你知道嗎？

你知道怎麼解決，以後碰到類似的問題，有65個隊伍比賽單淘汰制，有101個隊伍比賽單
淘汰制，請問至少要舉辦多少場比賽場次，才能產生唯一的冠軍隊伍出來，隊伍數目再多
，別人用數學寫了滿張考試卷進行排列組合，你馬上說出答案，只花半秒時間，只寫一行
答案。

如果還是想不出來，我公佈答案，並使用正規的解法做比較，當然書中並沒有提供正規的
數學解法，我還是用兩個思考方向來解這道題，讓大家體會一下，為什麼要從發生的結果
來解決，而不是從源頭發生的原因來做，主要是訓練開拓思考的領域，不只是以解決問題
為滿足，更進一步要求漂亮而俐落的問題解決，

題目一：

有 64 位棋士，最後要產生一位冠軍者，比賽採單淘汰制，請問至少要舉辦多少場次的比賽？

正規解法：

設參加人數為 X (X為2的倍數)

Ans = X/2 + X/22 + X/23 + .... + X/2n ... + 1

所以題目棋士為 64人則 

64/2 + 64/4 + 64/8 + 64/16 + 64/32 + 64/64
= 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 63

非正規解法：

因為比賽採單淘汰制，所以每場比賽，兩人一組，必然有一個人贏，另外一個人輸。也就
是說每場比賽都會有人輸，反過來說：有多少人輸，就有多少場次的比賽。只有一個人永
遠不輸，他是冠軍者，因此64位棋士，會有63位棋士輸，因此至少要舉辦 64 - 1 = 63
場次的比賽。

題目二：

有 300 個棋士參加比賽，採取單淘汰賽制，請問要舉辦多少組次的比賽才能產生唯一的
冠軍者？

不用數學計算從結果來思考解決問題： 

嗯！既然採單淘汰制度，每個人只有輸一次的機會，只要一場比賽你輸了就完玩了，贏的
人則繼續和其他贏的人進行複賽，因此冠軍只有一位，會有幾個人輸呢？當然是 300 個人
扣掉唯一不輸的人，300 - 1 = 299。所以要舉辦 299 組次，才能產生唯一的冠軍者。

現在從源頭開始思考：

因為 300 不是 2 的冪次(次方)，所以沒有數學公式可以套用計算。
Ans = X/2 + X/22 + X/23 + .... + X/2n ... + 1

300 個人要兩個人一組做比賽，所以第一次要先分成 300/2 = 150 組，
也就是說初賽時要同時舉辦 150 場的比賽。

將產生 150 位勝利者，再將這 150 位再分組 150/2 = 75 組，
再舉辦 75 場的比賽。

將產生 75 位勝利者，再將這 75 位再分組 75/2 = 37 組又剩餘一人，
再舉辦 37 場的比賽(其中多出一人無法參加，要等下一次湊成偶數才能比賽。)

將產生 37 位勝利者，再將這 37 位再分組 37/2 = 18 組又剩餘一人，
再舉辦 18+1 場的比賽。(這次也多出一人，和剛才前一次比賽落單無法參加的棋士湊成一組)

將產生 19 位勝利者，再將這 19 位再分組 19/2 = 9 組又剩餘一人，
再舉辦 9 場的比賽(其中多出一人無法參加，要等下一次湊成偶數才能比賽。)

將產生 9 位勝利者，再將這 9 位再分組 9/2 = 4 組又剩餘一人，
再舉辦 4+1 場的比賽(將這次多出的一人，和剛才前一次比賽落單無法參加的棋士湊成一組)

將產生 5 位勝利者，再將這 5 位再分組 5/2 = 2 組又剩餘一人，
再舉辦 2 場的比賽(其中多出一人無法參加，要等下一次湊成偶數才能比賽。)

將產生 2 位勝利者，再將這2位再分組 2/2 = 1 組，
再舉辦 1 場的比賽。

將產生 1 位勝利者，再將這 1 位和之前落單無法參加的棋士湊成一組
再舉辦 1 場的比賽，產生最後一位冠軍者。

因此總共比賽場次為：

150 + 75 + 37 + 18+1 + 9 + 4+1 + 2 + 1 + 1 = 299

結論：

正規化的問題處理適合簡單單純的事物，當題目改成有一億架宇宙戰艦，進行性能比較，
採單淘汰制，需要發生多次的比較事件，才能產生最後唯一最棒的結果，這時還在使用數
學式子一條條的除下去，就不是很經濟的方法了。

我相信經過上面兩題的說明之後，聰明的你應該很快知道答案，需要發生 99999999 次的比較。

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